نظرية الفئات أو نظرية المجموعات Set theory طريقة لحل مسائل الرياضيات والمنطق (أو الاستنباط). ودراستنا لنظرية المجموعات تزيد فهمنا لعلم الحساب وللرياضيات ككل.
ويعتقد كثير من العلماء أنه في الإمكان استخلاص كل القواعد الرياضية، بما في ذلك نظرية الدوال على سبيل المثال، من نظرية المجموعات، ولذا فإن نظرية المجموعات تعد من الفروع الأساسية لعلم الرياضيات.
والمجموعة تجمُّع من الأشياء المحسوسة أو الأفكار. فمثلاً كل أسرة ما، أو حتى علبة أقلام شمعية، أو قطيع أغنام هي مجموعة من الأشياء المحسوسة، بينما كل من قوانين لعبة ما، أو حتى الأعداد الزوجية من 10 إلى 20 مجموعة من الأفكار. وتسمى الأشياء التي تشكل المجموعة عناصر أو أعضاء المجموعة. فأي قلم شمعي هو عنصر من مجموعة الأقلام الشمعية، والرقم 16 عنصر من مجموعة الأعداد الزوجية من 10 إلى 20.
يستخدم علماء الرياضيات الحروف لتمييز المجموعات وعناصرها. فقد تستعمل حروف لتسمية المجموعات، بينما تستخدم حروف أخرى لتسمية عناصر المجموعات. فالحرف ح مثلا، يمكن أن يرمز إلى ¸مجموعة طلاب الصف الخامس ذوي الشعور المجعَّدة·، بينما ترمز الحروف ك، م، ن لعناصر هذه المجموعة ـ كريم، محمود، نزار. ولذلك نقول إن المجموعة ح تتألف من العناصر كريم، محمود، نزار، ونكتب: ح = { ك، م، ن }. أي أن المجموعة تحدَّد عن طريق حصر عناصرها بين القوسين { }.
وإذا أردنا أنْ نبيَّن أنَّ عنصراً ما موجود في مجموعة معينة، (مثلاً نريد توضيح أن محمودًا عنصر من ح)، فإننا نكتب م ينتمي إلى ح، ويقرأ: “م عنصر من المجموعة ح”. أما إذا رغبنا في توضيح أن طارقًا ليس عنصرًا من المجموعة ح فإننا نكتب ط لا تنتمي إلى ح، ويُقرأ: “ط ليس موجوداً في ح”. ويمكن أيضاً تحديد مجموعة ما بدلالة خواصها. والخاصية مفهوم يربط عناصر المجموعة بعضها ببعض. ففي المثال أعلاه، للمجموعة ح ثلاث خواص: 1- عناصرها مـن الطــلاب 2-عناصـرها في الصــف الخامــــس 3- عناصرها من ذوي الشعور المجعَّدة. ولتوضيح هذه الخصائص نكتب: ح ={س: س طالب في الصف الخامس وشعره مجعد}، وتقرأ هذه العبارة: ح هو مجموعة الأفراد س حيث س طالب في الصف الخامس. وتمثل النقطتان بين الرمزين س كلمة (
ويعتقد كثير من العلماء أنه في الإمكان استخلاص كل القواعد الرياضية، بما في ذلك نظرية الدوال على سبيل المثال، من نظرية المجموعات، ولذا فإن نظرية المجموعات تعد من الفروع الأساسية لعلم الرياضيات.
والمجموعة تجمُّع من الأشياء المحسوسة أو الأفكار. فمثلاً كل أسرة ما، أو حتى علبة أقلام شمعية، أو قطيع أغنام هي مجموعة من الأشياء المحسوسة، بينما كل من قوانين لعبة ما، أو حتى الأعداد الزوجية من 10 إلى 20 مجموعة من الأفكار. وتسمى الأشياء التي تشكل المجموعة عناصر أو أعضاء المجموعة. فأي قلم شمعي هو عنصر من مجموعة الأقلام الشمعية، والرقم 16 عنصر من مجموعة الأعداد الزوجية من 10 إلى 20.
يستخدم علماء الرياضيات الحروف لتمييز المجموعات وعناصرها. فقد تستعمل حروف لتسمية المجموعات، بينما تستخدم حروف أخرى لتسمية عناصر المجموعات. فالحرف ح مثلا، يمكن أن يرمز إلى ¸مجموعة طلاب الصف الخامس ذوي الشعور المجعَّدة·، بينما ترمز الحروف ك، م، ن لعناصر هذه المجموعة ـ كريم، محمود، نزار. ولذلك نقول إن المجموعة ح تتألف من العناصر كريم، محمود، نزار، ونكتب: ح = { ك، م، ن }. أي أن المجموعة تحدَّد عن طريق حصر عناصرها بين القوسين { }.
وإذا أردنا أنْ نبيَّن أنَّ عنصراً ما موجود في مجموعة معينة، (مثلاً نريد توضيح أن محمودًا عنصر من ح)، فإننا نكتب م ينتمي إلى ح، ويقرأ: “م عنصر من المجموعة ح”. أما إذا رغبنا في توضيح أن طارقًا ليس عنصرًا من المجموعة ح فإننا نكتب ط لا تنتمي إلى ح، ويُقرأ: “ط ليس موجوداً في ح”. ويمكن أيضاً تحديد مجموعة ما بدلالة خواصها. والخاصية مفهوم يربط عناصر المجموعة بعضها ببعض. ففي المثال أعلاه، للمجموعة ح ثلاث خواص: 1- عناصرها مـن الطــلاب 2-عناصـرها في الصــف الخامــــس 3- عناصرها من ذوي الشعور المجعَّدة. ولتوضيح هذه الخصائص نكتب: ح ={س: س طالب في الصف الخامس وشعره مجعد}، وتقرأ هذه العبارة: ح هو مجموعة الأفراد س حيث س طالب في الصف الخامس. وتمثل النقطتان بين الرمزين س كلمة (
شكرا لك عوض
