العمليات الجبرية

العمليات الجبرية ::

# يوجد في الجبر أربع عمليات أساسية وهي

# الجمع و الطرح والضرب و القسمة

جمع المقادير الجبرية :

لجمع المقادير فأننا نستخدم العلامة (+) لدلالة على عملية الجمع والتي تمثل عملية إضافة مثل :

2+5=7 11+4=15 2س+5س=7س

يشترط لجمع أي مقدران جبريان ان يكونا من نفس النوع

فمثلا :

2س +5ص لا يمكن جمعهما و يظل المقدار كما هو.



مثال:

3أ+8ب+9أ+2ب= 12أ+10ب

مثال : أوجد ناتج حاصل جمع المقادير التالية:

7س +5ص+9س ص و 8س + 2ص

الحل



يمكن ترتيب المقدارن السابقان كما يلي:



نلاحظ من المثال السابق أن كلا من س وص تختلف عن س ص لذلك عند الجمع يتم التعامل مع كل مقدار على حدا.







طرح المقادير الجبرية :

لطرح المقادير فأننا نستخدم العلامة(-) لدلالة على عملية الطرح والتي تمثل عملية صرف أو سحب مثال :

إذ كان لديك عشر ريالات وتم شراء حلويات بست ريالات فأن المتبقي معك يكون أربع ريالات

يمكن التعبير عن ذالك رياضيا كما يلي :

10-6 =4

أي أن المقدار المصروف أو المسحوب نضع أمامه إشارة سالب .

لذلك عند إجراء عملية الطرح يتم تغير إشارة العدد أو المقدار الجبري المراد طرحه ثم نطبق قاعدة الجمع.

مثال: أوجد ناتج 5س – 3س؟

5س – 3س = 2س

مثال: أوجد ناتج 7ص – 12ص؟

7ص – 12ص = -5ص

نلاحظ أن إشارة المقدار الأكبر هي سالبة لذلك عند الطرح نضع الفرق بين المقداران مع إشارة المقدار الأكبر.

مثال: أوجد ناتج جمع المقادير التالية :

2س + 7ص و -2س – 6ص و 8س – 3ص

الحل:



نلاحظ أن عند جمع مقداران جبريان متساويان في القيمة ومختلفان في الإشارة فإن حاصل جمعهما يساوي صفر.

مثال:أوجد حاصل جمع المقادير الجبرية التالية:

2س + 4ص – 3ع و -4س – 5ع + 2ص و 6ع + 7س – 8ص

الحل:

نلاحظ أن المقادير الثلاثة السابقة غير مرتبة لذلك فإننا عند جمعها لابد من ترتيبها مع مراعاة كتابة أي مقدار بنفس الإشارة التي هو عليها كما يلي:

بغرض حل المعادلات الجبرية ، نقوم باستخدام القوانين والعمليات الحسابية الأساسية .



نبدأ بتبسيط المقادير الجبرية أو العددية الموضوعة ضمن أقواس .

نبسط المغيرات والأعداد المرفوعة لقوة ما (لأس ما) .

نُجري بالترتيب من اليمين إلى اليسار عمليات الضرب والقسمة .

ثم نُجري بالترتيب من اليمين إلى اليسار عمليات الجمع والطرح .



تنبيه:

بإمكاننا دمج الحدود المتشابهة. بمعنى يُمكننا جمع أو طرح المتغيرات المتشابهة (نفس الرمز ونفس الأس).


2 س + 4 س تبسط إلى 6 س

13 – 7 + 3 تبسط إلى 9

2 س + 3 ص + 6 + 5 س + 4 ص + 9 تبسط إلى 7 س + 7 ص + 15



بإمكاننا إضافة أي مقدار عددي إلى طرفي المعادلة.




س – 4 = 8

(س – 4) + 4 = 8 + 4



بإمكاننا طرح أي مقدار عددي من طرفي المعادلة.




س + 4 = 8

(س + 4) – 4 = 8 – 4



بإمكاننا ضرب طرفي المعادلة بأي مقدار عددي عدا الصفر.










بإمكاننا قسمة طرفي المعادلة على أي مقدار عددي عدا الصفر .





7 س = 14




جد حلاً للمعادلة 2 × (س + 1 + 4) = 20





الطرف الأيسر للمعادلة مكتوب بأبسط صورة (العدد 20)

نأخذ الطرف الأيمن ونتسلسل في عمليات التبسط

2 × (س + 1 + 4) = 2 × (س + 5)

خاصية التوزيع / الضرب = 2 × س + 2 × 5

= 2 س + 10



وهكذا تصبح المعادلة

2 س + 10 = 20



نطرح العدد 10 من طرفي المعادلة

2 س + 10 – 10 = 20 – 10

2 س = 10



تقسم طرفي المعادلة على العدد 2

س = 5




نقول س = 5 هو حل للمعادلة 2 × (س + 1 + 4) = 20

ونتحقق من الحل بتعويض قيمة س

2 × (س + 1 + 4) = 20

2 × (5 + 1 + 4) = 20

2 × (10) = 20

2 × 10 = 20

20 = 20

وهكذا فإن حلنا صحيح .

اولاً / مثال محلول توضيحي لتسهيل الفهم
استخدم المعلومات في الجدول التالي كي ترسم تمثيلاً بيانيا ً مستخدما ً الأدوات الهندسية ؟

النوع اجتماعية كوميدية
رياضية
العدد 8 6 10
الحل / مجموع الكل 24= 10 + 6 + 8
إيجاد الزوايا ° 120 = ° 360 × 8
24
° 90 =° 360 × 6
24 نرسم الزوايا عن طريق المنقلة
° 150 = ° 360 × 10
24

نرسم بعد ذلك الزوايا بالمنقلة


ثانيا ً / حل السؤال التالي :
الشكولاته المفضلة عدد الطلاب
مارس 33
جالكسي 39
فريرو روشيه 27
أ ) أوجد قياسات الزوايا المركزية لكل قطاع .

.......................................................................

...............................................................
المجموع-----
.................................................................


ب ) كون رسما ً بيانيا ً بالدائرة.

إذا كان الواحد الصحيح هو جذر مكرر مرتين لكثيرة الحدود
ق ( س ) = س^4 - 2 س^3 + 4 س^2 + ب س + جـ
أوجد قيمة ب ، جـ ثم أوجد قيمة الجذريين الأخريين

بقسمة ق(س) على حاصل ضرب العاملين المعلومين (س - 1)(س - 1) ينتج : حاصل ضرب العاملين الآخرين ، والباقى = 0
بالقسمة المطولة :
حاصل ضرب العاملين الآخرين = س^2 + 3
الباقى = (ب س + 6 س) + (ج - 3) = 0
ومنها :
ب = - 6
ج = 3
نفرض أن الجذرين الآخرين هما : ل ، ع
(س - ل)(س - ع) = س^2 + 3
س^2 - (ل + ع) س + ل ع = س^2 + 3
ل + ع = 0 ــــــــــــــــــــــــ ل = - ع
ل ع = 3
بالتعويض عن قيمة ل بدلالة ع
- ع^2 = 3 ــــــــــــــــــــــ ع = ت جذر3
ــــــــــــــــــــــــــــــــ ل = - ت جذر3

حل المنظومة التالية :
س^2 + ص^2 + 3 س + 3 ص = 8
س ص + 4 س + 4 ص = 2


س ص + 4 س + 4 ص = 2
س ص = 2 - 4*(س + ص) ـــــــــــــــــــــــــــــــ (1)
س^2 + ص^2 + 3 س + 3 ص = 8
[(س + ص)^2 - 2 س ص ] + 3*(س + ص) = 8
(س + ص)^2 + 3*(س + ص) = 8 + 2 س ص ـــــــــــــــــ (2)
من (1) ، (2)
(س + ص)^2 + 11*(س + ص) - 12 = 0
نضع (س + ص ) = م
م^2 + 11 م - 12 = 0
(م - 1)(م + 12) = 0
م = 1
س + ص = 1
س ص = 2 - 4*1 = - 2 ـــــــــــــــــــ س = - 2/ص
- 2/ص + ص - 1 = 0
1/ص*(ص^2 - ص - 2) = 0
1/ص = 0 ــــــــــــــــــــــــ غير مقبول حيث ص لا تساوى مالانهاية
أو ص^2 - ص - 2 = 0
ص = 2 ــــــــــــــــــــــ س = - 1
أو ص = - 1 ـــــــــــــــــ س = 2

أو
م = - 12
س + ص = - 12
س ص = 2 - 4*(- 12) = 50 ـــــــــــــــــ س = 50/ص
50/ص + ص + 12 = 0
1/ص* ( ص^2 + 12 ص + 50 ) = 0
ص^2 + 12 ص + 50 = 50
ص = [- 12 + أو - جذر(144 - 4*1*50) / 2
ص = [-12 + أو - جذر - 56]/2
ص = - 6 + جذر 14 ت (تخيلى) ـــــــــــــــــ س = 7 - جذر14 ت
أو ص = - 6 - جذر 14 ت (تخيلى) ــــــــــــــ س = 7 + جذر14 ت

أوجد علي الصورة المثلثية : مجموعة حل المعادلة
س^2 - 2 س + 4 = صفر حيث س عدد مركب

س = [ - ب + أو - جذر(ب^2 - 4 أ ج)] /2 أ = [2 + أو - جذر(4 - 16)]/2
س = 1 + ت جذر3
س = 2 (1/2 + ت جذر3 /2)
= 2( حتا 60 + ت حا60 ) ، الدورة الأولى
= 2[جتا(6 ك + 1)ط/3 + ت جا(6 ك + 1)ط/3] ، بشكل عام
حيث ك = 0 ، 1 ، 2 ، 3 ، ...
أو
س = 1 - ت جذر3
س = 2 (1/2 - ت جذر3 /2)
= 2( حتا 300 + ت حا300) ، الدورة الأولى
= 2[ جتا(6 ك + 5)ط/3 + ت جا(6 ك + 5)ط/3] ، بشكل عام
حيث ك = 0 ، 1 ، 2 ، 3 ، ...

س + 2 ص - 2 ع = - 1 ... ... ... ... ... (1)
2 س + ص - ع = 1 ... ... ... ... ... .... (2)
3 س - 2 ص + 4 ع = 11 ... ... ... ... ... (3)

بجمع المعادلتين (1) ، (3) ــــــــــــــ 2 س = 5 - ع
بالتعويض فى (2) ــــــــــــــــــــــــ 2 ع - ص = 4
بالتعويض فى (3)
س = 1
ص = 2
ع = 3

حل آخر :
من (1) ــــــــــــ (ص - ع) = - (1 + س)/2
بالتعويض فى (2)
2 س + (ص - ع) = 1 ــــــــــــــــــــ س = 1
ص - ع = - 1 ـــــــــــــــــــــــــــ ع = ص + 1
بالتعويض فى (3)
3*1 - 2*ص + 4*(ص + 1) = 11
3 + 2 ص + 4 = 11 ــــــــــــــــــــــ ص = 2
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ع = 3

إذا كان ع = س + ص ت ، ل = أ + ب ت
أثبت أن
| ع - ل |^2 + | ع + ل |^2 = 2 ( | ع |^2 + | ل |^2 )

ٌٌْْْ
مقياس ع = جذر(س^2 + ص^2)
مقياس ل = جذر(أ^2 + ب^2)
ع - ل = (س + ص ت) + (- أ - ب ت) = (س - أ) + ت *(ص - ب)
ع + ل = (س + ص ت) + (أ + ب ت) = (س + أ) + ت *( ص + ب)
مقياس [ع - ل] = جذر[(س - أ)^2 + (ص - ب)^2]
مقياس [ع + ل] = جذر[(س + أ)^2 + ( ص + ب)^2]
| ع - ل |^2 + | ع + ل |^2 = [(س - أ)^2 + (ص - ب)^2] + [(س + أ)^2 + ( ص + ب)^2]
= 2*(س^2 + ص^2) + 2*(أ^2 + ب^2) = 2*( | ع |^2 + | ل |^2 )

اذا كان س^2 ص ع = 12 ، س ص ^2 ع = 6 ، س ص ع^2 = 18
أوجد قيمة
(1 ) س ص ع
( 2) س + ص + ع

ص ع س^2 = 12 ... ... ... (1)
س ع ص^2 = 6 ... ... ... .(2)
س ص ع^2 = 18 ... ... ... (3)
من المعادلتين (1) ، (2) ... ... س/ص = 2
من المعادلتين (2) ، (3) ... ... ع/ص = 3
من المعادلتين (1) ، (3) ... ... ع/س = 3/2
بالتعويض عن قيم ص ، ع بدلالة س فى المعادلة (1)
س^2 * س/2 * 3 س/2 = 3/4 * س^4 = 12
س^4 = 4 * 12 / 3 = 16
س = + أو - 2
بالتعويض عن قيم س ، ع بدلالة ص فى المعادلة (2)
ص = + أو - 1
بالتعويض عن قيم س ، ص بدلالة ع فى المعادلة (3)
ع = + أو - 3
فتكون قيم س ، ص ، ع التى تحقق المعطيات بالمعادلات الثلاث هى :
( 2 ، 1 ، 3 ) أو ( - 2 ، - 1 ، - 3 )
س * ص * ع = 6 أو - 6
س + ص + ع = 6 أو - 6

شكرا يا مهند أرجو إعادة صياغة الأسئلة إلى اللغة الإنجليزية و إعادة نشرها مرة أخرى و أشكرك يا مهند

شكرا يا مهند أرجو إعادة صياغة الأسئلة إلى اللغة الإنجليزية و إعادة نشرها مرة أخرى و أشكرك يا مهند

شكرا يا مهند أرجو إعادة صياغة الأسئلة إلى اللغة الإنجليزية و إعادة نشرها مرة أخرى و أشكرك يا مهند

شكرا يا مهند أرجو إعادة صياغة الأسئلة إلى اللغة الإنجليزية و إعادة نشرها مرة أخرى و أشكرك يا مهند

شكرا يا مهند أرجو إعادة صياغة الأسئلة إلى اللغة الإنجليزية و إعادة نشرها مرة أخرى و أشكرك يا مهند

شكرا يا مهند أرجو إعادة صياغة الأسئلة إلى اللغة الإنجليزية و إعادة نشرها مرة أخرى و أشكرك يا مهند

بارك الله فيها يا مهند

شكرا يا مهند أرجو إعادة صياغة الأسئلة إلى اللغة الإنجليزية و إعادة نشرها مرة أخرى و أشكرك يا مهند

شكرا يا مهند أرجو إعادة صياغة الأسئلة إلى اللغة الإنجليزية و إعادة نشرها مرة أخرى و أشكرك يا مهند