أما أبو كامل المصري :
نهج منهج الخوارزمي في حل المعادلات الجبرية ذات الدرجة الثانية وأدخل تحسينات على طريقة الحل مع الإيضاح لبعض النقاط الغامضة. كما أنه طور طريقة ضرب وقسمة الكميات الجبرية ، إضافة إلى ما قدمه من عمل رائع في جمع وطرح الأعداد الصم مثل:
أ + ب = أ + ب + 2 أ ب
طرق حل المسائل الجبرية عند أبي كامل :
من الأمثلة التي نتعرف بها على طريقة حل أبي كامل المصري لأحد المجاهيل الأخرى :
المثال الأول: دفع إليك مائة درهم ، فقيل لك ابتع مائة طائر من أربعة أصناف :
بط وحمام وقنابر و دجاج ، كل بط بدرهمين و الحمام اثنان بدرهم و القنابر ثلاث بدرهم و الدجاج كل واحد بدرهم.
حل المسألة:
افرض أن البط = س، الحمام = ص ، القنابر = ز ، الدجاج = م.
اشتر من البط عددا قيمته 2س درهم.
اشتر من الحمام عددا قيمته ص درهم.
اشتر من القنابر عددا قيمته ز درهم.
واشتر من الدجاج عددا قيمته م درهم.
.: من الممكن جدا التعبير عن السؤال بمعادلتين خطيتين وهما :
س + ص + ز + م = 100 م = 100- س- ص- ز (1)
2س + ص + ز + م = 100 م = 100- 2س – ص – ز (2)
لذا نجد أن 100- س - ص - ز = 100- 2س - ص – ز
.: 2س – س = (ص – ص ) + ( ز – ز )
س = ص + ز
و الجدير بالذكر أن أبا كامل يذكر أن عدد الأجوبة لهذه المسألة 304 جوابا .
و نأتي على ذكر عمر الخيام عبقري من عباقرة عصره ، فقد كان شاعرا ورياضيا بارعا فيهما في آن معا .
حيث أنه اشتغل بالمعادلات ذات الدرجة الثانية حذو أستاذه محمد بن موسى الخوارزمي ، كما عمل ف البحث في المعادلات ذات الدرجة الثالثة و الرابعة فتفنن في ذلك .
حل عمر أيضاَ الكثير من معادلات ذات الدرجة الثانية ، و التي على صيغة أس + ب س = حـ ، و استنتج القانون الجبري الآتي :
أس = 1 ب + أ حـ - 1 ب
فقد ذكر عمر الخيام في كتابه : ( الجبر و المقابلة قانوناَ لحل المعادلات ذات الدرجة الثانية و التي على صيغة
أس + ب س = حـ ، حيث أن أ = 1 ، لذا س = 1 ب 2 + حـ - 1 ب
و مثاله :
جد قيمة س إذا كانت س + 10 س = 39
بما أن س = 1 ب 2 + حـ - 1 ب ،
لذا ب = 10 ، حـ = 39 ، أ =1
.: س = 1 ( 100 ) + 39 – 1 ( 10 ) = 25 + 39 – 5 = 64 – 5 = 3
درس عمر الخيام المعادلات الجبرية من الدرجة الأولى و الثانية و الثالثة و عالج المعادلات التكعيبية معالجة منهجية منظمة ، و استخرج الجذور لكل درجة من هذه الدرجات . و حقيقة الأمر أن عمر حل بكل دقة ثلاثة عشر نوعاَ من المعدلات ذات الدرجة الثالثة بطريقة هندسية أبدع فيها ، فوصل إلى درجة من النضج الرياضي لم يسبقه إليها أحد . و كذلك سبق العلماء الرياضيين في حل المعادلات التكعيبية من طريق علم الهندسة فحصل على أحد جذورها ، على اعتبار أنه ألإحداثي الأفقي لنقطة تقاطع دائرة بقطاعِ مخروطي .
كان عمر الخيام بارعاَ في حل المعادلات من الدرجة الثالثة باستعمال القطوع المخروطية ، و هو أرقى ما وصل إليه العقل الجبري عند علماء العرب و المسلمين في القرون الوسطى ، بل أرقى ما توصل إليه العالم في حل المعادلات من الدرجة الثالثة في هذا القرن ، و بهذا يكون العلماء المسلمون في الرياضيات قد سبقوا ديكارت و فرما و بيكر في إخراج حلول هذه المعادلات .
إن عمر الخيام هو أول من ارتأى أن المعادلات الجبرية ذات الدرجة الثالثة لها جذران ، كما كان الأول في الحصول على الجذور التربيعية و التكعيبية بطرق رياضية بحتة .
و إذا كان خيام قد عرف عند العلماء الرياضيين بأنه حل المعادلات الجبرية ذات الدرجة الثالثة، فإن هذا العبقري المسلم لم يغفل عن المعادلات ذات الدرجة الرابعة فحل معادلاتها بطرق شتى هندسية و تحليلية.
انجازات العرب في حساب المثلثات
البتاني
اشتغل البتاني بالأعمال الفلكية كان في الأساس موجها إلى حساب المثلثات ، وكان يستخدم الجيوب بانتظام مع يقين واضح من تفوقها على الأوتار التي استعملها الإغريق من قبل ، و قد أكمل ما عرف عند اللاتين باسم Acbategnius إدخال دوال الظل و ظل التمام ، وعمل جدولا لظل التمام بدلالة الدرجات ، كما عرف العلاقة بين الأضلاع و الزوايا في المثلث الكروي العام و التي يعبر عنها بمعادلة:
جتا أ = جتا ب . جتا جـ + جا ب . جا جا . جتا أ ، انظر شكل 1 أ ، و في المثلث الكروي القائم الزاوية عند جـ أعطى البتاني المعادلة :
جتا ب = جتا ب . جا أ ، انظر شكل 2 ب
نهج منهج الخوارزمي في حل المعادلات الجبرية ذات الدرجة الثانية وأدخل تحسينات على طريقة الحل مع الإيضاح لبعض النقاط الغامضة. كما أنه طور طريقة ضرب وقسمة الكميات الجبرية ، إضافة إلى ما قدمه من عمل رائع في جمع وطرح الأعداد الصم مثل:
أ + ب = أ + ب + 2 أ ب
طرق حل المسائل الجبرية عند أبي كامل :
من الأمثلة التي نتعرف بها على طريقة حل أبي كامل المصري لأحد المجاهيل الأخرى :
المثال الأول: دفع إليك مائة درهم ، فقيل لك ابتع مائة طائر من أربعة أصناف :
بط وحمام وقنابر و دجاج ، كل بط بدرهمين و الحمام اثنان بدرهم و القنابر ثلاث بدرهم و الدجاج كل واحد بدرهم.
حل المسألة:
افرض أن البط = س، الحمام = ص ، القنابر = ز ، الدجاج = م.
اشتر من البط عددا قيمته 2س درهم.
اشتر من الحمام عددا قيمته ص درهم.
اشتر من القنابر عددا قيمته ز درهم.
واشتر من الدجاج عددا قيمته م درهم.
.: من الممكن جدا التعبير عن السؤال بمعادلتين خطيتين وهما :
س + ص + ز + م = 100 م = 100- س- ص- ز (1)
2س + ص + ز + م = 100 م = 100- 2س – ص – ز (2)
لذا نجد أن 100- س - ص - ز = 100- 2س - ص – ز
.: 2س – س = (ص – ص ) + ( ز – ز )
س = ص + ز
و الجدير بالذكر أن أبا كامل يذكر أن عدد الأجوبة لهذه المسألة 304 جوابا .
و نأتي على ذكر عمر الخيام عبقري من عباقرة عصره ، فقد كان شاعرا ورياضيا بارعا فيهما في آن معا .
حيث أنه اشتغل بالمعادلات ذات الدرجة الثانية حذو أستاذه محمد بن موسى الخوارزمي ، كما عمل ف البحث في المعادلات ذات الدرجة الثالثة و الرابعة فتفنن في ذلك .
حل عمر أيضاَ الكثير من معادلات ذات الدرجة الثانية ، و التي على صيغة أس + ب س = حـ ، و استنتج القانون الجبري الآتي :
أس = 1 ب + أ حـ - 1 ب
فقد ذكر عمر الخيام في كتابه : ( الجبر و المقابلة قانوناَ لحل المعادلات ذات الدرجة الثانية و التي على صيغة
أس + ب س = حـ ، حيث أن أ = 1 ، لذا س = 1 ب 2 + حـ - 1 ب
و مثاله :
جد قيمة س إذا كانت س + 10 س = 39
بما أن س = 1 ب 2 + حـ - 1 ب ،
لذا ب = 10 ، حـ = 39 ، أ =1
.: س = 1 ( 100 ) + 39 – 1 ( 10 ) = 25 + 39 – 5 = 64 – 5 = 3
درس عمر الخيام المعادلات الجبرية من الدرجة الأولى و الثانية و الثالثة و عالج المعادلات التكعيبية معالجة منهجية منظمة ، و استخرج الجذور لكل درجة من هذه الدرجات . و حقيقة الأمر أن عمر حل بكل دقة ثلاثة عشر نوعاَ من المعدلات ذات الدرجة الثالثة بطريقة هندسية أبدع فيها ، فوصل إلى درجة من النضج الرياضي لم يسبقه إليها أحد . و كذلك سبق العلماء الرياضيين في حل المعادلات التكعيبية من طريق علم الهندسة فحصل على أحد جذورها ، على اعتبار أنه ألإحداثي الأفقي لنقطة تقاطع دائرة بقطاعِ مخروطي .
كان عمر الخيام بارعاَ في حل المعادلات من الدرجة الثالثة باستعمال القطوع المخروطية ، و هو أرقى ما وصل إليه العقل الجبري عند علماء العرب و المسلمين في القرون الوسطى ، بل أرقى ما توصل إليه العالم في حل المعادلات من الدرجة الثالثة في هذا القرن ، و بهذا يكون العلماء المسلمون في الرياضيات قد سبقوا ديكارت و فرما و بيكر في إخراج حلول هذه المعادلات .
إن عمر الخيام هو أول من ارتأى أن المعادلات الجبرية ذات الدرجة الثالثة لها جذران ، كما كان الأول في الحصول على الجذور التربيعية و التكعيبية بطرق رياضية بحتة .
و إذا كان خيام قد عرف عند العلماء الرياضيين بأنه حل المعادلات الجبرية ذات الدرجة الثالثة، فإن هذا العبقري المسلم لم يغفل عن المعادلات ذات الدرجة الرابعة فحل معادلاتها بطرق شتى هندسية و تحليلية.
انجازات العرب في حساب المثلثات
البتاني
اشتغل البتاني بالأعمال الفلكية كان في الأساس موجها إلى حساب المثلثات ، وكان يستخدم الجيوب بانتظام مع يقين واضح من تفوقها على الأوتار التي استعملها الإغريق من قبل ، و قد أكمل ما عرف عند اللاتين باسم Acbategnius إدخال دوال الظل و ظل التمام ، وعمل جدولا لظل التمام بدلالة الدرجات ، كما عرف العلاقة بين الأضلاع و الزوايا في المثلث الكروي العام و التي يعبر عنها بمعادلة:
جتا أ = جتا ب . جتا جـ + جا ب . جا جا . جتا أ ، انظر شكل 1 أ ، و في المثلث الكروي القائم الزاوية عند جـ أعطى البتاني المعادلة :
جتا ب = جتا ب . جا أ ، انظر شكل 2 ب
